时间: 2021-08-03 10:55:13 人气: 15 评论: 0
“围住神经猫”虽然是一个小游戏，但细细想来，其实也是一个很有意思、值得探讨的数学问题。
【长文，多图预警，慎入】
先抛出结论：
在原游戏的条件下，由于初始占有点的随机性，在考虑最坏情况下（如一个点都没占有），无法确保围住神经猫。但是，当棋**扩展到一定程度时（N
下面给出本人对这个问题较为详尽的分析，个人观点，仅供参考。
如觉得证明过于复杂，可直接看文末总结的本游戏技巧。
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从表面上看，神经猫能走到的格子数是9×9=81格，但这个“棋**”并不是对称的，神经猫只需要走4步就能到棋**的边缘，而一旦被神经猫逃到棋**边缘，游戏就结束了。
神经猫的逃跑策略是贪心算法，也就是说，它总是考虑当下离边缘最近的路线。实际上，如下图所示，神经猫4步可以走到的格子被深红色标出，其中带五角星的是棋**的边缘。
神经猫显然**尽可能地往带五角星的格子逃跑，而我们要做的便是在猫到达五角星格子以前，把它拦住。
为了便于讨论，我们考虑更具有代表性的问题，如下图所示：
问题描述：在一个边长为M（上图中M=5）正六边形的棋**上，要在最坏情况下，依然确保能抓住神经猫，令最小能满足条件的M为N，求N的值。
解：
本文给出N的上界，即。
引理：
在下图中，神经猫先行，它无法逃出。
经过穷举，这个结论是容易证明的，下图给出一种神经猫企图逃出却失败的例子：数字代表次序，蓝色的数字是神经猫的逃跑路线，橙色数字是我封堵的路线，请注意观察橙2、4、6、12的封堵技巧。显而易见，神经猫无法逃出。
引理证毕。
下面证明N=8时，无论神经猫用什么办法，总存在策略将其围住。
只需证明，初始状态什么都没有的时候，依然可以围住神经猫即可（如下图所示）。
由于第一步之前，我们并不知道神经猫往哪个方向逃走，因此如果神经猫足够聪明，它显然**根据你的堵截方向，向反方向逃跑，因此第一步的阻拦的作用是微乎其微的。故作较坏打算：假设神经猫先行。
由对称性，不妨设神经猫第一步试图左上方逃走，于是如下图所示。
蓝1向左上行，橙2拦在了一个很远的地方，围棋十诀有云：慎勿轻速。虽然敌人看起来很遥远，但是还应该小心翼翼地渐渐靠近它，万万不可一开始就近身肉搏。
1）神经猫A是个楞头青，认为只要努力就能冲出重围，于是始终往左上跑
到橙6，由引理可知，神经猫已经无法从左上方逃走。
于是A企图转向，可是，如果它扭头就走——
至橙12，我方已经占据了包围蓝方的有利地形，显然神经猫已经无法从坐下方跑出了，如果它想从其它位置出去，则显然更加不可能了。
如果A选择慢慢转向——
看起来似乎要逃出去了，但终究差一口气啊……
神经猫A，扑街。
2）神经猫B似乎聪明了很多，它**视情况，选择性地躲着敌人跑
看到橙2的堵截，B选择了躲避，往又上走，可惜，我方技高一筹，放在了橙4的位置，如下图所示——
至橙8，殊途同归，由引理知，神经猫B依然无法逃脱。
神经猫B，扑街。
3）神经猫C是一个谨慎的猫咪，它见到敌人，尽量躲避
如下图所示，蓝5很及时的转向，可是道高一尺，魔高一丈，橙6看似不着边际，其实上是张开了一张大网，至橙8，C已经无法逃出了。
神经猫C，扑街。
4）神经猫D是一个胆小的猫咪，它见到敌人，扭头就走
如下图所示，蓝3、5、7、9、11皆是躲着防线在跑，可是，至橙12，我方已经张开一个六边形的大网，等着D的到来，D终究要面对被擒的现实。
神经猫D，扑街。
于是，神经猫终究逃不出我的手掌心。
其实细心的你应该已经发现，我只要想办法尽快占据下图的紫色圈就可以确保擒住神经猫了。
综上所述，得证。
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回到原游戏。从上面的分析可以感受到“围住神经猫”的技巧精髓有如下几点：
1、慎勿轻速。除非有援兵，否则应该要远远地张开一张大网，在己方很弱的情况下，切勿轻敌。因为你的速度不比神经猫快，所以直接近身堵截，你总是慢一步啦。
2、“二间跳”是一个很实用的防御手段，如下图所示
当然，“二间跳”后的“双飞燕”也是很重要的，这样就彻底守住了。如下图所示
3、由于游戏中神经猫比较笨，它在左上方有通道的情况下**一味地往左上方逃跑，而不**拐弯，所以，在左上防御充分的前提下，还是尽可能在其它位置做好防御，防患于未然嘛。
4、上面已经说了，当N=8的时候，我才能确保捉住神经猫，对于本题来说，相当比N=5略好一些，确实有些情况，因为自己子力太弱，自己根本无法捉住神经猫——这个时候，就放小猫咪一个生路好了，它很可怜的啦。
另外，用X步 击败（100-X）%的人 的这个计算方法还是第一次见到 有点逗 ，很能引爆朋友圈！
原文作者：曾加@知乎
